|
Проблема движенияВ широком смысле понятие движение используется для обозначения любых изменений, происходящих с объектом или системой объектов с течением времени. Различным уровням организации материи соответствуют свои характерные формы движения (социальные, биологические, химические, физические и т.д.). Высшие формы движения включают в себя более простые и могут быть сведены к их совокупностям (напр. передача возбуждения между нервными клетками организма представляет собой импульсы токов и напряжений, распространяющихся по нейронам, а последние обусловлены движением положительно заряженных ионов Na и K). Простейшей формой является механическое движение, представляющее собой перемещение объектов в пространстве. В широком смысле понятие движение используется для обозначения любых изменений, происходящих с объектом или системой объектов с течением времени. Различным уровням организации материи соответствуют свои характерные формы движения (социальные, биологические, химические, физические и т.д.). Высшие формы движения включают в себя более простые и могут быть сведены к их совокупностям (напр. передача возбуждения между нервными клетками организма представляет собой импульсы токов и напряжений, распространяющихся по нейронам, а последние обусловлены движением положительно заряженных ионов Na и K). Простейшей формой является механическое движение, представляющее собой перемещение объектов в пространстве. Описание изменяющихся во времени величин. Если какая-либо величина F, которой может быть приписано численное значение, изменяется во времени, это символически записывают в следующем виде: . Существует несколько способов задания зависимости F(t), соответствующих различным уровням экспериментального изучения явлений. Табличный способ представляет собой набор численных значений измеряемой величины в моменты времени и наиболее достоверно отражает результаты измерений. В связи с тем, что измеряемые величины не могут быть определены абсолютно точно, корректная запись результатов измерений должна содержать информацию о погрешности в виде доверительного интервала, т.е. численного промежутка, в котором находится истинное значение измеряемой величины с заранее заданной вероятностью (обычно 90%). Ниже приводится пример табличного задания роста ребенка во времени по результатам измерений, проводившихся по одному разу в год в месяц его рождения: Возраст (годы) Рост (метры) Основным недостатком этого способа является его малая наглядность. Графический способ состоит в нанесении точек на график, по осям которого отложены значения величин F и t. "Точки" положено изображать в виде фигур (прямоугольников, эллипсов, крестиков и т.д.), размеры которых отражают погрешность измерений (рис. 3_1). Обычно нанесенные точки соединяют плавной кривой, отражающей представления исследователя (часто весьма субъективные) о истинном характере зависимости F(t). Интервал между точками на графиках желательно выбирать так, чтобы между ними изображаемая зависимость имела монотонный характер, т.е. не имела минимумов и максимумов. Аналитический способ представляет собой описание зависимости F(t) в виде функции, конкретный вид которой подбирается на основе разумного компромисса между требованиями наилучшего соответствия с результатами измерений и простоты формул. Часто качественный вид зависимости априорно известен из теории. При этом выбор рассматриваемых функций существенно сужается, результаты измерений частично учитываются подбором значений подгоночных параметров. Последний способ задания наиболее информативен, но наименее достоверен. Скорость изменения величины определяется отношением ее приращения к интервалу времени, за который это приращение произошло, при условии, что этот интервал достаточно мал (в математике при определении мгновенной скорости подразумевается стремление интервала времени к нулю; в естествознании интервал считается просто достаточно малым, поскольку утверждение о существовании сколь угодно малых интервалов времени представляется весьма спорным). Если известна зависимость величины от времени F(t), скорость ее изменения всегда может быть найдена. Обратная задача определения изменяющейся во времени величины по известной зависимости от времени ее скорости однозначно решается в случае, если известно значение этой величины в какой-то момент времени. Производная и интеграл. Математическое определение мгновенной скорости изменения переменной величины F(t) имеет вид: Для математической операции (2), носящей название дифференцирования или взятия производной, используется несколько общепринятых обозначений: Величина производной числено равна тангенсу угла наклона касательной к графику F(t) (рис. 3_2). В случае возрастания функции F ее производная положительна, при убывании - отрицательна. В точках экстремумов (минимумов и максимумов) производная обращается в нуль. По известной зависимости F(t) производная всегда вычисляется и при том - однозначно (исключение составляют лишь случаи, когда F(t) имеет разрывы, но в реальной природе подобных зависимостей практически никогда не встречается). Обратная задача- определение зависимости F(t) по известной скорости ее изменения имеет однозначное решение лишь в случае дополнительного задания начального условия (значения величины F в какой-либо момент времени): Приращение величины F вычисляется в результате взятия определенного интеграла: числено равного площади под графиком зависимости (рис. 3_2). По приращению величины и ее значению, согласно (5), можно найти F(t): Описание эволюции сложных систем. Системы, имеющие несколько степеней свободы, описываются набором величин называемых координатами системы (число координат N равно числу степеней свободы). Геометрическим образом состояния системы является точка в N-мерном пространстве конфигураций, координаты которой определяются набором . Если система изменяется с течением времени, составляющие набора изменяются и изображающая точка перемещается в конфигурационном пространстве . Поскольку свойства справедливы для операций сложения и умножения вещественных чисел, практически все утверждения из алгебры скалярных величин остаются справедливыми и для векторов. Вектор является обобщением понятия числа на случай многомерных пространств. Скаляры можно рассматривать как векторы в одномерном пространстве. Использование векторов позволяет строить описание весьма разнообразных объектов (материальных точек, сил, полей, состояний, численности населения городов, физиологических ощущений и т.д.), используя единообразные математические обозначения. Пользуясь аналогией с соотношениями, легко определить понятие вектора скорости изменения системы: и обобщить все последующие соотношения на многомерный случай. Движение материальной точки в пространстве трех измерений является частным примеров эволюции во времени весьма простой системы, исчерпывающее описание которой дается тремя декартовыми координатами, совокупность которых называется радиус-вектором: Для обозначения "обычных" векторов в трехмерном пространстве будут использоваться жирные буквы без стрелок (рис. 3_3). В этом простейшим случае сумма векторов определяется как вектор, составляющие которого являются суммами соответствующих составляющих слагаемых а произведение на число - как вектор, составляющие которого получаются домножением составляющих исходного на это число: Легко убедиться, что все необходимые свойства (7-9) при таком определении операций выполняются. Производная радиус-вектора по времени получила название вектора мгновенной скорости: а производная скорости ("скорость изменения скорости" - ускорения: В классическом естествознании молчаливо предполагалось, что величина скорости механического движения может принимать любые значения. Сегодня имеются весьма серьезные основания утверждать, что в мире существует предельная скорость распространения сигнала: превышение которой принципиально невозможно (подробно этот вопрос будет обсуждаться в разделе "Мир глазами Альберта Эйнштейна"). По известной зависимости положения тела от времени R(t) его скорость и ускорение определяются однозначно. В случае заданной скорости V(t) для однозначного определения радиус-вектора R(t) необходимо знать положение тела в какой-то определенный момент времени ("начальное положение"). Если же задана зависимость ускорения от времени, то по ней может быть найдена скорость, а по последней - радиус-вектор. Очевидно, что решение будет однозначным, если заданы начальная скорость и положение тела. На практике процесс измерения скорости механического обычно сводится к измерению пройденного пути и соответствующего ему промежутка времени. Измерение малых и больших скоростей сопряжено с трудностями, вызванными необходимостью измерять предельно малые и большие расстояния и интервалы времени. Относительность механического движения. Однозначное задание радиус-вектора возможно лишь после задания системы координат. Различные системы координат могут по-разному располагаться в пространстве и иметь различные скорости движения. Получим связь между характеристиками движения материальной точки в неподвижной (0) и движущейся (0) системах отсчета (рис. 3_4) . Пусть R(t) и R(t) - радиус-векторы материальной точки в двух системах отсчета, а r(t) - вектор, задающий положений движущейся системы (0) относительно неподвижной (0). Очевидно, что Очевидное с точки зрения "здравого смысла" предположение о том, что в обоих системах отсчета время течет одинаково позволяет получить непосредственным дифференцированием (16) закон сложение скоростей, связывающий скорость тела в движущейся системы отсчета V, с его скоростью в неподвижной V и относительной скорость движения систем отсчета v: Аналогичное соотношение справедливо и для ускорений. Закон (10) показывает, что тело, покоящееся в одной системе отсчета, может двигаться в другой. Т.о. бессмысленно говорить о механическом движении вообще, не указав системы отсчета. Говорят, что механическое движение относительно. . Эффект Доплера, являющийся следствием закон сложения скоростей, имеет много интересных проявлений в природе и технике. Пусть какой-либо источник создает с частотой периодическое возмущение ("сигнал") , распространяющееся в пространстве со скоростью C (примером может служить распространение в воздухе звуковых волн, создаваемых струной, совершающей колебаний в секунду). Эффект Доплера состоит в том, что в случае движения источника или приемника частота принимаемого сигнала изменяется. Используя классический закон сложения скоростей (17) и известные из школьного курса формулы для равномерного движения, нетрудно получить следующую связь между частотой колебаний приближающегося со скоростью источника и частотой регистрируемого неподвижным приемником сигнала (рис. 3_5): При удалении источника (V<0) регистрируемая частота оказывается меньше исходной (звук, например, будет казаться более низким), при приближении (V>0) - частота возрастает (звук становится более высоким). В случае V=C частота становится бесконечно большой, что в акустике соответствует возникновению ударной волны при движении источника со скоростью звука (т.н. звуковой барьер). При сверхзвуковом движении формула (18) формально дает отрицательное значение частоты, что соответствует приему сигналов, приходящих в обратном порядке по сравнению с их испусканием. В оптике наблюдается сходный эффект, приводящий к изменению частоты излучения (цвета) источника: удаляющиеся источники выглядят "более красными", приближающиеся - "фиолетовыми" Количественные соотношения несколько отличаются от (18), поскольку при решении задач о движении с около световыми скоростями закон сложения скоростей (17) перестает выполняться. Астрономические наблюдения показывают, что спектры излучения далеких звезд смещены в красную сторону (т.е. частота приходящего от далеких звезд света оказывается заниженной), что служит основой для предположения о разбегании галактик или расширении Вселенной. Измерения сдвигов частот показали, что скорости разбегания звезд пропорциональны расстояниям до них (рис. 3_6): где константа H носит названия постоянной Хаббла. Утверждение о разбегании галактик ставит два естественных вопроса: 1) Не означает ли соотношение (19) что мы находимся в центре мира? 2) Куда разбегаются звезды? Ответ на первый вопрос состоит в том, что в случае линейной зависимости скорости разбегания от расстояния наблюдатель на любой другой звезде увидит точно такую же картину разбегания (рис. 3_5). (Например, скорость звезды 1 относительно звезды 2, согласно закону сложения скоростей равна: что соответствует закону Хаббла). Удовлетворительный ответ на второй вопрос, попутно разрешающий парадокс звездного неба, по-видимому состоит в утверждении о глобальной неэвклидовости нашего пространства. Сказанное можно пояснить на модели двумерных существ, оказавшихся на поверхности сферы, радиус которой возрастает во времени (надувающийся шарик). Если на поверхность такой сферы нанести точки ("звезды"), расстояние между ними будет увеличиваться в полном соответствии с законом Хаббла (прямыми в этом "искривленном мире" следует называть дуги больших кругов на поверхности сферы). Вопрос же о том, куда разбегаются звезды для двумерных существ вообще бессмыслен, поскольку они не способны даже представить истинного вида поверхности, на которой находятся. Дрейф материков является другим интересным примером механического движения. Предположение о перемещении континентов возникло в результате сравнения очертаний их береговых линий. При мысленном сближении континентов возникает возможность их очень плотной "стыковки". Исследования остаточной намагниченность горных пород так же свидетельствуют в пользу того, что ранее материки составляли одно целое. В настоящее время в геологии не существует единого мнения о причинах разъединения материков: наблюдаемая сегодня картина объясняется либо их дрейфом по поверхности планеты, либо расширением Земли. Измерения относительного движения материков в наши дни представляет весьма сложную экспериментальную задачу из-за их крайне медленного движения (доли сантиметров в год). В настоящее время эта задача успешно решается методами волновой оптики.
|
