|
Классическая электродинамика.
Являющиеся “вершиной” классической физики уравнения электродинамики Максвелла в своей законченной форме были получены не только как обобщения результатов многочисленных экспериментов, но и исходя из дополнительных теоретических соображений и требований “красоты” и симметрии математических формул, описывающих фундаментальные законы природы. Созданная Максвеллом теория свела воедино ранее практически разрозненные разделы физики: электричество, магнетизм и оптику. Пресказываемые теорией новые явления получили убедительное экспериментальное подтверждение. Серьезные противоречия между теорсрией Максвелла и фундаментальными принципами классического естествознания послужили толчком к первому критическому переосмыслению последних. Результатом этого переосмысления явилось создание Специальной теории относительности.
Непрерывные распределения зарядов. Согласно принципу суперпозиции реальные электрическое и магнитное поле в данной точке пространства определяются суммой полей, которые создавал бы в ней каждый из зарядов в отдельности. Поскольку макроскопические тела содержат множество заряженных частиц, математическая процедура вычисления подобных сумм является практически невыполнимой (лишь гигантский прогресс вычислительной техники позволяет допустить в перспективе превращение этой задачи из невыполнимой в трудно выполнимую). Аналитические расчеты полей существенно упрощаются при замене “неудобного” суммирования по дискретным зарядам на интегрирование. Такой переход подразумевает приближенную замену реальных дискретных распределений зарядов на усредненные в пространстве непрерывные плотности зарядов P и плотности токов J. Очевидно, что подобное “сглаживание” источников поля приводит к замене в результатах расчетов реальных микроскопических (существенно изменяющихся на расстояниях атомного масштаба) полей на усредненные макроскопические. Для естествознания и техники XIX века, находившихся только на подступах к созданию микроскопической теории вещества, получаемой точности описания электромагнитных взаимодействий в большинстве случаев было достаточно.
Переход к “сглаженным” функциям позволил со всей полнотой использовать аппарат дифференциального и интегрального исчисления для записи законов электромагнетизма. Оказалось, что одни и те же утверждения физики допускают сильно различающиеся между собой математические формулировки, выбор и использование которых может меняться в зависимости от соображений удобства и специфики решаемой задачи.
Операторы. Следующим существенным шагом на пути придания уравнениям электричества и магнетизма современной математической формы был переход к операторной форме их записи. Операторная форма позволила придать уравнениям гораздо более компактный и “элегантный” вид. В дальнейшем операторы оказались очень удобными для выражения идей современного естествознания математическими объектами. Модно без преувеличения сказать, что вся современная теоретическая физика была бы немыслима без использования операторов (подобно тому, как экономика не может обойтись без математической статистики).
Понятие оператора прочно вошло в математику в начале 20 века и является естественным обобщением традиционного для классической математики понятия функции. Если под функцией понимается закон (правило, отображение), по которому одному числу (набору чисел) ставится в соответствие другое число (набор чисел), то под оператором подразумевают закон, по которому одному объекту (группе объектов) ставится в соответствие другой объект (группа). Наиболее часто встречаются операторы, действующие либо на функции, либо на векторы.
В качестве примера представителя первой группы может быть приведен оператор дифференцирования , действие которого на функцию сводится к ее “превращению” в производную:
(1) .
На примере этого оператора поясним смысл оказавшейся весьма полезной идеи определения математических операций над операторами. Например, под произведением двух операторов подразумевается оператор, выполняющий последовательно действия каждого из перемножаемых операторов. Так под произведением двух операторов дифференцирования (квадратом оператора ) следует понимать “команду” вычислить вторую производную:
(2) .
Оператор интегрирования является обратным оператором по отношению к дифференцированию: совместное действие этих двух операторов не производит над функцией никакого преобразования, т.е. описывается единичным оператором :
(3) .
Для операции умножения операторов в общем случае не выполняется свойство коммутативности:
(4) .
В качестве примера некоммутирующих операторов приведем операторы вращений , действие которых на векторы сводится к повороту последних на угол вокруг оси Х.
Использование языка операторов существенно сокращает запись многих математических формул и делает их более краткими и “элегантными”. Так использование одного лишь оператора “набла”:
(8) .
позволяет очень кратко записать записать уравнения в дифференциальных формулировках (4), не используя громозких операций векторного анализа (в приведенной таблице они специально не расшифровывались для того, чтобы не пугать читателя):
(9) .
Столь же красиво выглядят и уравнения для потенциалов:
(10) ; ,
где использован еще один часто встречающийся оператор Лапласа:
(11) .
Помимо краткости записи преимущество операторного метода состоит в том, что. с самим оператором набла можно обращаться почти так же, как с обычным вектором, что, несомненно, облегчает громоздкие выкладки.
Математический формализм для описания электростатических и магнитостатических полей. Ниже для иллюстрации приведены основные соотношения электростатики и магнитостатики, записанные на “различных языках математики”. Обратите внимание на тот замечательный факт, что несмотря на внешнюю несхожесть различных языков, во всех формах записи сохраняется удивительная симметрия между выражениями для электрических и магнитных полей. Наличие этой симметрии указывает на глубокое внутреннее единство электрических и магнитных взаимодействий.
Математический формализм
Уравнения магнитостатики Уравнения электростатики
(1) Точное выражение для микроскопическое поля
(2) “Сглаженное” макроскопическое поле
(3) Интегральные формулировки
(4) Дифференциальные формулировки
(5) Выражение через потенциалы
(6) Уравнения для потенциалов
Закон электромагнитной индукции Фарадея. Долгое время электрические и магнитные явления считались независимыми, хотя даже на уровне магнитостатики это не совсем верно: магнитостатическое поле порождается постоянными токами, существование которых в веществе невозможно без наличия электрического поля. Фарадей экспериментальным путем установил, что изменяющееся во времени магнитное поле может порождать электрическое. Это электрическое поле в отличие от порождаемого зарядами потенциального электростатического является вихревым, т.е. его линии представляют собой замкнутые кривые (рис. 11_1). Открытый Фарадеем закон индукции впоследствии имел колоссальное практическое значение, поскольку открыл весьма удобный и дешевый способ преобразования механической энергии движения источников магнитного поля в электрическую, ныне лежащий в основе промышленного производства электроэнергии. Сам Фарадей отрицал практическую значимость своего открытия даже в отдаленном будущем.
С точки зрения математической записи уравнений для поля открытое Фарадеем явление требует видоизменения системы уравнений (9) для электростатического поля:
(12) .
Гипотеза Максвелла. Рассмотрев совместно систему уравнений (7) и (10) Максвелл обратил внимание на следующие ее недостатки:
1. Указанная система несовместна с законом сохранения заряда.
2. Система оказалась весьма несимметричной даже для случая описания электромагнитного поля в пустом пространстве (P=0 и J=0).
Несоответствие уравнений закону сохранения заряда было достаточным аргументом для того, чтобы усомниться в их истинности, поскольку законы сохранения носят весьма общий характер. Оказалось, что существует множество способов видоизменения системы уравнений (7), (10), приводящих их в соответствие с законом сохранения. Максвеллом был выбран простейший из возможных путь, приводящий систему к симметричному виду в случае ее использования для описания полей в пустом пространстве. В последнее уравнение было добавлено слагаемое, описывающее возможность генерации вихревого магнитного поля изменяющимся электрическим (“ток смещения”):
(13) ; .
Чисто математическими следствиями из видоизмененной системы уравнений Максвелла были утверждение о сохранении энергии в электромагнитных процессах и теоретический вывод о возможности независимого от зарядов и токов существования поля в виде электромагнитных волн в пустом пространстве. Это последнее предсказание нашло блестящее экспериментальное подтверждение в знаменитых опытах Герца и Попова, положивших основу современной радиосвязи. Рассчитываемая из системы (11) скорость распространения электромагнитных волн оказалась равной экспериментально измеренной скорости распространения света в вакууме, что означало объединение практически ранее независимых разделов физики электромагнетизма и оптики в одну законченную теорию.
Проблема существования магнитного монополя. Колоссальный успех теории Максвелла продемонстрировал возможность теоретического поиска новых законов природы на основе анализа математических уравнений, описывающих ранее известные закономерности, с обязательной экспериментальной проверкой таким образом “угадываемых” результатов.
Симметричная для описания электромагнитных полей в пустом пространстве система уравнений Максвелла (11) существенно “теряет свою красоту” при учете электрических зарядов и токов: создаваемое электрическими зарядами потенциальное поле Е не имеет аналога в магнитных взаимодействиях. Эта ассиметрия послужила поводом для постановки множества экспериментов по поиску магнитных монополей (или магнитных зарядов) - гипотетических частиц, являющихся источником потенциального магнитного поля и теоретических исследований их предполагаемых свойств. До настоящего времени надежных экспериментальных данных о существовании магнитных монополей не получено.
Противоречия между электродинамикой и классической физикой. Сформулированные в виде законченной теории и выдержавшие экспериментальную проверку законы электромагнетизма Максвелла оказались в противоречии с принципами, лежащими в основе классического миропонимания Галлилея - Ньютона:
1. Удовлетворяющие принципу относительности Галилея классические силы могут зависеть от времени, расстояний между телами и их относительных скоростей, т.е. величин, не изменяющихся при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую. Магнитостатические поля и связанные с ними силы Лоренца являются функциями скоростей зарядов по отношению к наблюдателю и различны в разных инерциальных системах отсчета.
Т.о. явления природы, обусловленные электромагнитными взаимодействиями, с точки зрения классической физики в различных инерциальных системах отсчета должны протекать по-разному.
2. Получаемая в результате решения уравнений Максвелла скорость распространения электромагнитных волн в пустом пространстве оказалась независящей от скоростей движения как источника этих волн, так и наблюдателя. Этот вывод полностью противоречило классическому закону сложения скоростей.
Все попытки видоизменить уравнения электромагнетизма так, чтобы привести их в согласие с принципами классического естествознания приводили к теоретическому предсказанию эффектов, ненаблюдаемых на эксперименте, и были признаны несостоятельными.
Преобразования Лоренца. Поскольку уравнения Максвелла не были инвариантными относительно преобразований Галилея, т.е. вопреки требованиям принципа относительности изменяли свою форму при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую, по правилам, задаваемым соотношениями:
(14) ,
Лоренцем был поставлен естественный вопрос об отыскании таких преобразований координат и времени, которые не изменяли бы уравнений Максвелла и были при этом максимально простыми. Эта задача была им решена как чисто математическая:
(15) .
Сравнивая преобразования Галилея (14) и Лоренца (15), легко заметить, что последние переходят в классические в случае скоростей, малых по сравнению со скоростью света с. Т.о. предложенные Лоренцем соотношения удовлетворяли принципу соответствия, согласно которому новая теория должна согласовываться со старой о областях, где последняя была надежно проверена на экспериментах. Кроме того, следующий из преобразований Лоренца релятивистский закон сложения скоростей оставлял скорость света инвариантной относительно переходя в любую инерциальную систему отсчета, движущуюся со скоростью, меньшей с.
Опыты Майкельсона. Следующее из уравнений Максвелла утверждение о постоянстве скорости света при переходах в другие системы отсчета полностью противоречило классическим представлениям. Вставал естественный вопрос о его экспериментальной проверке. Весьма изящный эксперимент был осуществлен Майкельсоном с помощью специально сконструированного им прибора - интерферометра, позволяющего сравнивать времена распространения световых сигналов вдоль двух взаимно перпендикулярных отрезков прямых, ограниченных на концах зеркалами (рис. 11_2). Идея опыта состояла в попытке зарегистрировать различие скоростей распространения света вдоль разных плеч интерферометра, вызванное орбитальным движением Земли. Опыты с интерферометром Майкельсона дали отрицательные результаты: скорость света с высокой точностью оказалась независящей от соотношения направлений его распространения и движения Земли.
Многочисленные попытки спасти классический закон сложения скоростей путем введения гипотетической среды - эфира, в которой распространяются световые колебания потерпели полную неудачу свойства предполагаемой Среды оказывались весьма экзотическими, никаких экспериментальных подтверждений ее реального существования получено не было.
Выход из возникшей на рубеже веков в естествознании тупиковой ситуации был предложен А. Эйнштейном, создавшим специальную теорию относительности (СТО), в которой на основе двух хорошо проверенных на эксперименте постулатов (утверждений) строится внутренне непротиворечивая (хотя и весьма странная с точки зрения классического естествознания и житейского опыта) концепция, объясняющая преобразования Лоренца и предсказывающая ряд новых явлений, реально зарегистрированных в природе.
Обучение за рубежом
|
